Documentation - Théorème de Pythagore
📑 Table des matières
📖 1. Définition et histoire
Qu'est-ce que le théorème de Pythagore ?
Le théorème de Pythagore est l'un des théorèmes les plus célèbres et les plus utilisés en mathématiques. Il établit une relation fondamentale entre les trois côtés d'un triangle rectangle.
Histoire
Bien que ce théorème porte le nom du mathématicien grec Pythagore (vers 570-495 av. J.-C.), il était déjà connu des Babyloniens et des Égyptiens bien avant lui. Pythagore et son école ont été les premiers à en donner une démonstration mathématique rigoureuse.
Triangle rectangle ABC avec l'angle droit en A
📐 2. La formule fondamentale
Le théorème de Pythagore s'énonce ainsi : Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
Où :
- a et b sont les longueurs des cathètes (les côtés formant l'angle droit)
- c est la longueur de l'hypoténuse (le côté opposé à l'angle droit)
Formules dérivées
À partir de la formule principale, on peut déduire :
Calcul de l'hypoténuse
c = √(a² + b²)
Calcul d'une cathète (a)
a = √(c² - b²)
Calcul d'une cathète (b)
b = √(c² - a²)
🔬 3. Démonstrations
Démonstration géométrique classique
Une des démonstrations les plus visuelles consiste à construire des carrés sur chacun des côtés du triangle rectangle et à montrer que l'aire du carré construit sur l'hypoténuse est égale à la somme des aires des carrés construits sur les deux autres côtés.
Démonstration par découpage
- On construit un carré sur chaque côté du triangle rectangle
- Le carré sur le côté a a une aire de
a² - Le carré sur le côté b a une aire de
b² - Le carré sur l'hypoténuse c a une aire de
c² - On peut démontrer par découpage que :
c² = a² + b²
Exemple numérique de vérification
Prenons un triangle rectangle avec a = 3 et b = 4 :
- Étape 1 :
a² = 3² = 9 - Étape 2 :
b² = 4² = 16 - Étape 3 :
a² + b² = 9 + 16 = 25 - Étape 4 :
c² = 25, doncc = √25 = 5
On vérifie bien que 3² + 4² = 5² soit 9 + 16 = 25 ✓
🛠️ 4. Applications pratiques
Le théorème de Pythagore a de nombreuses applications dans la vie quotidienne et dans différents domaines :
🏗️ Construction
Vérifier qu'un angle est bien droit, calculer les diagonales, dimensionner les structures
🗺️ Navigation
Calculer la distance la plus courte entre deux points, trajectoires
📱 Technologie
Calcul de la taille d'écran en pouces (diagonale), GPS, infographie
⚽ Sports
Calcul de distances sur un terrain, angles de tir, trajectoires
📝 5. Exemples détaillés
Exemple 1 : Calculer l'hypoténuse
Énoncé : Un triangle rectangle a pour côtés a = 6 cm et b = 8 cm. Calculer l'hypoténuse c.
- Étape 1 : On applique la formule :
c² = a² + b² - Étape 2 :
c² = 6² + 8² - Étape 3 :
c² = 36 + 64 = 100 - Étape 4 :
c = √100 = 10 cm
Réponse : L'hypoténuse mesure 10 cm.
Exemple 2 : Calculer une cathète
Énoncé : Un triangle rectangle a une hypoténuse c = 13 cm et une cathète a = 5 cm. Calculer b.
- Étape 1 : On utilise :
b² = c² - a² - Étape 2 :
b² = 13² - 5² - Étape 3 :
b² = 169 - 25 = 144 - Étape 4 :
b = √144 = 12 cm
Réponse : La cathète b mesure 12 cm.
Exemple 3 : Application pratique - Taille d'écran
Énoncé : Un écran de télévision mesure 80 cm de largeur et 45 cm de hauteur. Quelle est sa taille en diagonale ?
- Étape 1 :
diagonale² = largeur² + hauteur² - Étape 2 :
diagonale² = 80² + 45² - Étape 3 :
diagonale² = 6400 + 2025 = 8425 - Étape 4 :
diagonale = √8425 ≈ 91,79 cm - Étape 5 : Conversion en pouces :
91,79 ÷ 2,54 ≈ 36 pouces
Réponse : C'est une télévision 36 pouces.
🔄 6. Réciproque du théorème de Pythagore
La réciproque du théorème de Pythagore est tout aussi importante que le théorème lui-même. Elle permet de vérifier si un triangle est rectangle.
Énoncé de la réciproque :
Si dans un triangle, le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle, et l'angle droit est opposé au plus grand côté.
Exemple : Vérifier si un triangle est rectangle
Énoncé : Un triangle a pour côtés 7 cm, 24 cm et 25 cm. Est-il rectangle ?
- Étape 1 : Identifier le plus grand côté :
c = 25 cm - Étape 2 : Calculer :
7² + 24² = 49 + 576 = 625 - Étape 3 : Calculer :
25² = 625 - Étape 4 : Comparer :
625 = 625✓
Réponse : Oui, le triangle est rectangle (angle droit opposé au côté de 25 cm).
✏️ 7. Exercices corrigés
Exercice 1
Énoncé : Calculer l'hypoténuse d'un triangle rectangle de côtés 9 cm et 12 cm.
Voir la solution
c² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225c = √225 = 15 cm
Exercice 2
Énoncé : Une échelle de 5 m est appuyée contre un mur. Son pied est à 3 m du mur. À quelle hauteur touche-t-elle le mur ?
Voir la solution
- L'échelle forme l'hypoténuse :
c = 5 m - La distance au mur :
b = 3 m - Hauteur :
a² = c² - b² = 5² - 3² = 25 - 9 = 16 a = √16 = 4 m- Réponse : L'échelle touche le mur à 4 m de hauteur.
Exercice 3
Énoncé : Un triangle a pour côtés 8 cm, 15 cm et 17 cm. Est-il rectangle ?
Voir la solution
- Plus grand côté :
17 cm - Vérification :
8² + 15² = 64 + 225 = 289 17² = 289- Comme
289 = 289, le triangle est rectangle ✓
Exercice 4
Énoncé : Un rectangle mesure 12 cm de longueur et 5 cm de largeur. Quelle est la longueur de sa diagonale ?
Voir la solution
- La diagonale d'un rectangle forme un triangle rectangle
diagonale² = 12² + 5² = 144 + 25 = 169diagonale = √169 = 13 cm
🔢 Triplets pythagoriciens
Un triplet pythagoricien est un ensemble de trois nombres entiers positifs (a, b, c) qui vérifient
l'équation a² + b² = c². Voici les triplets les plus courants :
| a | b | c (hypoténuse) | Vérification |
|---|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 | 9 + 16 = 25 ✓ |
| 5 | 12 | 13 | 25 + 144 = 169 ✓ |
| 8 | 15 | 17 | 64 + 225 = 289 ✓ |
| 7 | 24 | 25 | 49 + 576 = 625 ✓ |
| 9 | 40 | 41 | 81 + 1600 = 1681 ✓ |
Ces triplets sont particulièrement utiles pour vérifier rapidement si un triangle est rectangle sans calculatrice !
🧮 Prêt à pratiquer ?
Utilisez notre calculatrice interactive pour appliquer le théorème de Pythagore avec des calculs détaillés.
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